Il diagramma di Eulero Venn di
Clelia Asciutto

Gruppo InterIRRE di Ricerca sull’insegnamento della Tecnologia

CHE COSA E'
Il diagramma di Eulero – Venn è la rappresentazione grafica degli insiemi e delle relazioni fra di essi mediante figure limitate da curve chiuse, al cui interno sono indicati gli elementi dell’insieme.

A CHE COSA SERVE
Si utilizza per rappresentare convenzionalmente in modo grafico i rapporti tra concetti e le operazioni logiche su di essi. Va osservato tuttavia che queste rappresentazioni grafiche sono soltanto delle illustrazioni, e non costituiscono strumenti per la dimostrazione delle proposizioni coinvolte.

SINTASSI
Il suo specifico è quello di mettere in I "diagrammi di Eulero-Venn tengono conto soltanto di quella che viene chiamata la "estensione" di un concetto; in altre parole queste illustrazioni rappresentano simbolicamente gli insiemi di enti ai quali compete un concetto; quella che si chiama la "comprensione" di un concetto non viene rappresentata con questi metodi. Prendendo un esempio dalla geometria, consideriamo il concetto di "parallelogramma”; la sua estensione è data dall’insieme di tutti i parallelogrammi; la sua comprensione è data dalla definizione, come "poligono piano di quattro vertici e quattro lati, avente i lati a due a due uguali e paralleli". È ovvio che soltanto la definizione del concetto, cioè la conoscenza della sua comprensione, permette la deduzione delle proprietà dell’ente definito.


LA NOZIONE DI INSIEME IN MATEMATICA
Gli studiosi di matematica sono concordi nel ritenere che tutta la matematica si fonda sulla nozione di "insieme".
Il concetto di insieme, in matematica, corrisponde a quello del linguaggio comune ed è sinonimo di collezione, classe, raggruppamento, raccolta, ... Cantor dà un'idea intuitiva del concetto di insieme con la seguente celebre affermazione: "Con il nome di insieme intendiamo ogni raccolta, classe, aggregato, totalità M di oggetti determinati della nostra percezione o del nostro pensiero ben distinti tra loro, oggetti che chiamiamo elementi di M”.
Poiché è impossibile definire la nozione di insieme per mezzo di altre nozioni precedentemente introdotte, il concetto di insieme è primitivo.
La seguente mappa illustra il concetto matematico di insieme ed i concetti ad esso correlati:

Gli insiemi possono essere finiti o infiniti.
Un insieme infinito, formato cioè da un numero infinito di elementi, viene dato mediante una legge di definizione o proprietà caratteristicamentre un insieme finito, cioé formato da un numero finito di elementi, può essere dato anche mediante elencazione degli elementi componenti, inoltre, uno stesso elemento non può essere ripetuto.
Nella figura che segue è data una rappresentazione grafica dell’insieme A = {a,b,c} mediante un diagramma di Eulero-Venn.

I diagrammi di Eulero-Venn si utilizzano:

  • per rappresentare operazioni tra insiemi
  • per rappresentare classificazioni indotte da relazioni
  • per rappresentare e risolvere problemi
  • per rappresentare corrispondenze tra gli elementi di 2 insiemi ( diagramma sagittale)

    Osservazioni generali su Insiemi e Relazioni e sviluppo cognitivo
    Spesso in matematica, come in qualunque altra disciplina, accade che concetti logicamente a fondamento di altri, siano ricavati solo sulla base di una riflessione su concetti più elevati.
    Così è ad esempio per il concetto di insieme, che pur essendo considerato, in una concezione moderna l'organizzatore e la base per tante altre parti della matematica, tuttavia si afferma con Cantor soltanto nello scorso secolo.
    Storicamente il concetto di insieme si afferma a partire dalle discussioni sull’infinito; geneticamente, invece, il concetto di insieme si identifica con la capacità di differenziare e classificare gli oggetti, che è presente molto precocemente nello sviluppo del bambino.
    Infatti il concetto di insieme permette di considerare degli oggetti collettivamente e di esaminare se tra di essi esistono delle relazioni, cioè delle leggi che associano oggetti ad altri ogetti. Stabilire delle relazioni tra gli oggetti appartenenti ad un insieme vuol dire capire se esiste un criterio logico per classificarli, ordinarli, catalogarli. Bisogna osservare, inoltre, che la capacità di trovare una proprietà comune tra più elementi, tra loro diversi, non riguarda soltanto l’attività matematica, infatti stabilire una relazione non soltanto aiuta a “mettere ordine” tra oggetti, ma permette di comprendere meglio le nostre idee, le immagini, i personaggi, gli avvenimenti che accadono intorno a noi.
    Molto spesso le trame dei film, o dei romanzi gialli o dei racconti a fumetti sono costruite con personaggi ed episodi particolari diversi, ma con le identiche relazioni.
    Analizzare una relazione esistente permette dunque di concentrare l’attenzione su un particolare aspetto degli elementi che consideriamo, che più interessa rispetto al problema in esame. Come per oggetti diversi possiamo fare astrazione dalle loro qualità concrete e considerare come significativa soltanto la loro quantità, così per storie diverse possiamo trovare la stessa “trama”, indipendentemente dalle particolari interpretazioni e raffigurazioni dei personaggi.
    Dalle osservazioni fatte risulta evidente che l'organizzazione logica della matematica, che mette gli insiemi all'inizio della propria costruzione, è più vicina allo sviluppo genetico che a quello storico, pertanto la scelta di sviluppare gli insiemi ad intreccio con il problema del mettere in relazione che tende a legare la dimensione storica con quella genetica, risulta didatticamente valida, in quanto:
    pensare ad un insieme significa aver già operato una classificazione e quindi una differenziazione degli oggetti che ci circondano: questo oggetto appartiene ad un insieme, quest' altro no. Stabilire criteri di appartenenza è una operazione mentale analoga a quella di stabilire una relazione; d’altra parte l'appartenenza è essa stessa una relazione anche se fonda un concetto quale quello di insieme che, al nostro livello, è da considerarsi primitivo;
    dato un insieme, la più semplice struttura che vi si può definire (intendendo per struttura un qualche legame tra gli elementi) è una struttura reticolare, cioè quella derivante dall'aver introdotto una relazione. In questo modo l'insieme. pur non assumendo le caratteristiche di una struttura algebrica, assume già una sua organizzazione interna.

Pertanto nella didattica si raccomanda di

  1. concentrare l'attenzione sui due tipi di relazioni fondamentali:
  • relazioni di equivalenza (stabilire una relazione di equivalenza è il passo fondamentale per una operazione di astrazione);
  • relazioni d' ordine (stabilire un ordinamento è il passo fondamentale per contare).
  1. dedicare particolare attenzione ai seguenti aspetti:
  • considerare differenti sistemi di rappresentazione (aiuta i ragazzi a formarsi rappresentazioni mentali dei concetti via via appresi);
  • utilizzare immediatamente i concetti mostrando l'intima utilità degli strumenti di rappresentazione esaminati;
  • passare da uno all'altro dei differenti domini della matematica, tradizionalmente considerati come separati, e ad altri domini del sapere che offrano spunti per applicare i concetti di equivalenza e di ordinamento e per utilizzare le relative rappresentazioni grafiche.

ESEMPIO per rappresentare classificazioni
Poiché i diagrammi di Eulero-Venn permettono di visualizzare relazioni di inclusione e di evidenziare se due insiemi hanno intersezione non vuota, essi sono utilizzati per rappresentare particolari classificazioni, come nel caso riportato sotto:

Consideriamo due insiemi di figure piane:

  • ROMBI = {quadrilateri aventi tutti i lati di uguale lunghezza}
  • RETTANGOLI = {quadrilateri aventi tutti gli angoli di uguale ampiezza }


L' insieme dei parallelogrammi è un sottoinsieme dell' insieme dei trapezi (che sono quadrilateri con due lati paralleli) perché ogni parallelogramma è, in particolare, un trapezio.
L'insieme dei trapezi è a sua volta sottoinsieme dell' insieme dei quadrilateri
Possiamo rappresentare questi insiemi con un diagramma di E.V.

Dal diagramma si ricavano le seguenti informazioni:

  • i quadrati sono rombi e rettangoli
  • alcuni rombi sono rettangoli
  • non tutti i rettangoli sono rombi
  • tutti i quadrati sono trapezi
  • se un quadrilatero è un parallelogramma, allora è un trapezio. Non è vero il viceversa: esistono trapezi che non sono parallelogrammi.


Tali considerazioni non sono affatto banali, né scontate neanche nella secondaria superiore, offrono l’occasione per lavorare con i quantificatori e permettono l’acquisizione di apprendimenti significativi in quanto generatori di competenze sia cognitive che operative.
ESEMPIO per rappresentare e risolvere problemi
Poiché i diagrammi di E.V. permettono di rappresentare situazioni e problemi in cui gli elementi appartengono a più categorie, si possono utilizzare per risolvere problemi del tipo:

Dopo un cena insieme, 20 persone si recano in un bar: alcuni ordinano un caffè, altri un gelato, altri un dolce. Disponiamo delle seguenti informazioni:

  1. tre persone non ordinano nulla;
  2. tutte le altre persone ordinano almeno una di queste tre cose: il caffè oppure il dolce oppure il gelato; nessuno però ha preso due volte la stessa cosa;
  3. soltanto una persona ha preso il caffè, il dolce e il gelato;
  4. 3 persone hanno preso soltanto il caffè,
  5. 4 persone hanno preso soltanto il dolce;
  6. 2 persone hanno preso soltanto il gelato;
  7. 13 persone non hanno preso il gelato;
  8. il barista ricorda di avere portato complessivamente 8 caffè;
  9. 4 persone hanno preso almeno dolce e gelato.

Se il gelato costa 2 euro, il dolce 2.5 euro e il caffè 1 euro, qual è il costo complessivo?
Considerata la grande quantità di dati correlati tra di loro, risulta necessario visualizzare le loro relazioni.
Le informazioni, ben decodificate, si trasformano in dati che possono essere interpretati come gli elementi di un insieme; quindi la prima cosa da fare è individuare le categorie generali dei dati, ad ognuna di esse si assocerà l’insieme delle persone che vi appartengono. Nel caso in esame le categorie generali sono: caffè, gelato, dolce. Si raccomanderà agli studenti di disegnare i diagrammi in modo che ogni linea chiusa si intersechi con tutte le altre linee per essere sicuri di considerare il caso più generale possibile. Poco male se qualche intersezione risulterà vuota!
Il problema viene risolto attraverso la progressiva costruzione del seguente diagramma.

CENNI STORICI
Leibniz e l’inizio della logica simbolica
Il matematico e filosofo Leibniz (Gottfried, 1646-1716) ebbe (forse per primo) l’idea di utilizzare un sistema di simboli costanti, e indipendenti dal contesto locale, per rappresentare i rapporti tra i concetti, così che la deduzione possa essere ricondotta ad una manovra di simboli, secondo le leggi proprie di questi.
In generale, quando si introducono dei simboli convenzionali e nuovi risulta necessario spiegarne il significato nel contesto d’uso e soprattutto enunciare in modo certo e comprensibile le regole che ne reggono l’impiego, facendo ricorso al linguaggio comune.
Il contesto del simbolo, e di conseguenza il suo significato, si mantiene limitato e costante, in tutto il corso di una stessa opera.
L’idea di Leibniz venne ripresa nel secolo XVIII dal grande matematico, astronomo e filosofo svizzero Eulero (Leonhard Euler, italianizzato in Eulero, 1707-83), al quale si deve la sistematizzazione e la riformulazione dell'analisi che costituisce la base della matematica moderna e della teoria delle funzioni), e in seguito dal logico e matematico inglese Venn (1834-1926).
Boole e l’algebra della logica
Abbiamo osservato che i diagrammi di Eulero-Venn costituiscono soltanto un’illustrazione di certi aspetti dei concetti logici. Un passo avanti decisivo sulla strada della rappresentazione diretta dei concetti, delle loro relazioni, e delle operazioni su di essi fu compiuto da G. Boole (1815-64), che viene considerato come uno dei fondatori della logica simbolica moderna. Egli infatti non soltanto adottò la tecnica di rappresentare i concetti con simboli convenzionali e non con le parole del linguaggio comune, ma escogitò delle leggi formali per operare con tali simboli, analoghe a quelle dell’algebra. La sua opera diede origine a tutta una serie di ricerche di algebra astratta, e a una branca di questa scienza che è chiamata "Algebra di Boole".
Quando si vogliono applicare le operazioni dell’algebra di Boole ai concetti della teoria elementare e intuitiva degli insiemi, si sceglie di rappresentare gli insiemi mediante diagrammi di. Eulero-Venn
Gli studi di logica deduttiva e induttiva di Venn si inseriscono a pieno titolo nell’attività della scuola inglese della seconda metà del XIX secolo, capeggiata da G. Boole per la logica deduttiva e da J. Stuart Mill per quella induttiva. Nel campo della logica deduttiva, Venn seguì il filone booleano di ricerche, raffinando e modificando i procedimenti logici introdotti da Boole. In particolare Venn, al quale risale l’espressione «logica simbolica», ritenne che questa rappresentasse uno dei diversi modi del ragionare, non necessariamente alternativo al senso comune. Venn ritenne inoltre necessaria un’algebrizzazione della logica a tutti gli effetti, al di là di una sua simbolizzazione, in modo da consentire una verifica rigorosa del ragionamento. Su tale linea di pensiero attuò una rappresentazione diagrammatica delle proposizioni e del ragionamento con la tecnica in seguito nota come diagrammi di Eulero-Venn.

Bibliografia
Dizionario biografico degli Scienziati Zanichelli- Le Scienze
W. Maraschini, M. Palma; 2000. Multi Format - Moduli per la formazione matematica nel biennio, Paravia.
W. Maraschini, M. Palma; 1992. Matematica di Base 1 - Per il biennio della scuola media superiore, Paravia.

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